Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

с такими значениями wi, чтобы их произведение было равно p. Автор не видел ни одной такой сделки, но необходимо проанализировать ее, чтобы понять разницу между средним геометрическим и арифметическим, поскольку среднее геометрическое чаще используется на финансовых рынках.

● Среднее арифметическое:

с такими значениями wi, чтобы их сумма была равна n.

Следующее упражнение, как и упражнение в главе 22, поможет понять некоторые трудности, связанные с ценообразованием опционов.

Возьмем среднее значение за 4 дня.

Процесс принимает экспоненциальную форму, и определенные лаконичные результаты без труда можно получить с помощью простой формулы Блэка–Шоулза–Мертона.

Среднее арифметическое, однако, более информативно:

Точно так же, как если бы пользователь смотрел на линейную комбинацию опционов на независимые активы с одинаковой волатильностью (известно, что z1, z2, … zn являются независимыми). Здесь мало логнормальности, т. к. процесс не может быть обобщен в виде St = S0exp(что-то). Иными словами, нельзя получить dS/S – нормально распределенную переменную.

Это осложнение несколько оживляет картину. Как трейдера автора этой книги азиатские опционы быстро вгоняют в сон. Как любитель теории вероятностей он находит процесс довольно необычным[210].

Оставшаяся часть главы посвящена нескольким важным моментам, касающимся хеджирования. Существующие в настоящее время методы ценообразования нацелены на то, чтобы обойти процесс вычисления среднего значения ∑wiSi путем нахождения какой-либо формы, позволяющей отслеживать расхождение между логнормальным распределением и средним значением.

Читатель будет рад узнать, что такое расхождение – это перекос волатильности. Большинство методов обхода нацелено на репликацию распределения за счет обнаружения его моментов и использования функции логнормального распределения, удовлетворяющей таким моментам. Однако, как будет показано далее, большинство трейдеров по-прежнему довольствуются методом Монте-Карло.

Сравнивая распределение средних с распределением базового актива, можно увидеть, что отношение вторых моментов распределений близко к

● Трейдер покупает азиатский опцион и продает соответствующий ванильный опцион в правильном гамма-нейтральном соотношении (примерно 1,73 к 1). На рис. 23.6 представлено сравнение двух позиций, каждая из которых независима от другой.

● На рис. 23.7 показан спред двух опционов; как и ожидалось, имеет место короткий перекос волатильности.

Хороший способ разобраться в этом эффекте – обратиться к понятию компаундинга. Сумма экспонент – это то же самое, что экспонента суммы. Сумма экспонент, скажем exp(n) + exp(m), равная экспоненте exp(a + b), не будет расти так же, как последняя при умножении на 2. Сравните результаты: exp(2n) + exp(2m) и exp(2 × (a + b)). Читатель может попробовать проделать это в качестве упражнения, чтобы увидеть одну из выпуклых характеристик экспоненты.

При ценообразовании азиатских опционов мы рекомендуем учитывать волатильность и процентные ставки (т. е. всю кривую), потому что имеет значение каждый интервал. Кроме того, при росте волатильности выше 30 % рекомендуется использовать метод Монте-Карло. В большинстве других случаев можно применять модель ценообразования, основанную на обычных приблизительных оценках. Более высокая точность при аппроксимировании несущественна по сравнению с точностью, потерянной при использовании гомоскедастической модели.

В заключение сделаем еще несколько замечаний.

● Разбивка на интервалы. Азиатские опционы требуют отслеживания интервальных вег и распределения форвардов. Как ни странно, средняя точка для форвардных хеджей визуально напоминает точку момента остановки.

● Тонкость. Среднее арифметическое необратимо из-за неравенства Дженсена. Среднее значение USD-DEM не равно 1/среднее значение DEM-USD.

Часть IV

Модули

Модуль A

Броуновское движение в электронной таблице: краткое руководство

Данный модуль представляет собой введение в теорию случайных блужданий.

■ При ценообразовании ценных бумаг случайное блуждание обуславливает изменение за определенный период их цены в той части, в которой оно носит случайный характер. Изменение цены в той части, в которой оно не рассматривается как случайное, называется дрейфом.

Для простоты предположим, что поведение финансовых инструментов определяется случайным процессом, который можно смоделировать в электронной таблице.

Броуновское движение = случайное блуждание + дрейф.

Упражнения, предлагаемые в данном разделе, посвящены элементу случайности. Дрейф будет рассмотрен в модуле B.

Классическое случайное блуждание: один актив

Представим себе пьяницу, бредущего по Мэдисон-авеню. Выпил он крепко и не помнит, где был только что. Он может идти только вперед, причем с неизменной скоростью. При каждом шаге он будет продвигаться вперед, отклоняясь то вправо, то влево: шаг вперед + шаг влево или вперед + шаг вправо, как показано на рис. A.1.

Сделав 10 шагов, наш пьяница использует следующий набор комбинаций: 10 шагов вперед + максимум 10 шагов влево, 10 шагов вперед + максимум 10 шагов вправо, а также все промежуточные варианты.

Предполагается, что на рынке ценных бумаг происходит такое же случайное блуждание, с одной оговоркой: длина шагов увеличивается по мере роста цены актива. Наглядное представление об этой концепции дает моделирование случайного блуждания в электронной таблице Excel[211].

Откройте новую электронную таблицу.

Инструменты → Анализ данных → Генератор случайных чисел.

Количество переменных = 1.

Количество случайных чисел = 248.

Распределение = нормальное.

Среднее значение = 0.

Стандартное отклонение = 1.

Диапазон выходных данных = B4.

→ OK.

Exсel сгенерирует 248 случайных чисел. Среднее значение будет близко к нулю. Эти числа будут называться нормально распределенными вокруг среднего значения 0 при стандартном отклонении 1.

В ячейку A3 введите число 100. Это будет начальная цена актива. Далее в ячейке A2 укажите волатильность актива (скажем, 0,157). Это будет означать, что стандартное отклонение составит

A3 × EXP(–0,5.$A$2^2 × (1/248) + $A$2 × (1/15,7) × B4).

Cкопируйте ее в ячейку A251. Это будет путь (последовательность) доходов за день:

St = St–1 × Exp (–1/2 σ2 t + σ ×

Приравнивание значений ячеек в соответствии с формулой выполняется следующим образом:

St = A4;

St–1 = A3;

Wt – случайное число; среднее значение = 0, среднее положительное значение = 1, среднее отрицательное значение = –1.

Теперь выделим интервал (A3:А251) и построим график. Результат показан на рис. А.2.

При моделировании процесса в компьютере повторение генерирования случайных чисел для получения новой волны «белого шума» создает новые пути (последовательности).

По мере увеличения волатильности амплитуда движений будет расти.

Несколько вопросов

Вопрос 1 (который задают всегда). Как перейти от пьяницы, все шаги которого имеют одинаковую длину, к шагам разной длины Wt? (Wt может быть любым числом от минус бесконечности до плюс бесконечности, имеющим