Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Благодаря принципу отражения и теореме Гирсанова, для барьерных опционов можно использовать лаконичные решения. Существует два класса формул ценообразования барьерных опционов:

1. Формулы на основе модели Блэка–Шоулза–Мертона, к сожалению, не очень хороши, поскольку предполагают постоянную волатильность и постоянные процентные ставки между временем 0 и сроком экспирации. Метод оценивает опционы неправильно в случае наклона как подразумеваемой волатильности, так и кривой процентных ставок.

2. Численные методы, ни один из которых на момент написания книги не является общедоступным. Они варьируют от широко используемых симуляторов Монте-Карло до деревьев с точной локальной волатильностью между узлами.

Принцип отражения

Как говорилось в главе 19, принцип отражения позволяет пользователям определять количество условных броуновских путей между двумя точками. Здесь мы будем использовать его для того, чтобы вычислять риск-нейтральную плотность вероятности путей, достигающих заданной цели, не пересекая барьер. Они будут комплементарными (т. е. в сумме давать 100 %) по количеству путей,

● достигающих заданной цели, проходя через барьер (разница между включением и выключением);

● не достигающих заданной цели.

Пусть Wt определяется как стандартное броуновское движение (нулевой дрейф), а l – как заданный для него предел. Принцип отражения (см. Karatzas and Shreve, 1991; Grimmet and Stirzaker, 1992; Lamberton and Lapeyre, 1991) позволяет сделать следующее преобразование:

и

Следовательно, опционы можно оценивать с использованием разности между двумя процессами, как описано в главе 19, однако при наличии дрейфа возникает заминка, вынуждающая прибегать к теореме Гирсанова.

Теорема Гирсанова

Теорема Гирсанова позволяет пользователям создать новую воображаемую плотность вероятностей вместо предыдущей, причем новая плотность вероятностей является риск-нейтральной[231]. Большинство изложений теоремы Гирсанова отличаются трудно воспринимаемыми особенностями, хотя, как объясняют трейдерам, эти особенности становятся более удобоваримыми, если рассматривать их вне теории меры. Здесь представлена именно такая версия теоремы, т. к. она намного проще в ситуациях постоянного дрейфа.

Главный результат состоит в устранении дрейфа, который интегрируется в распределение вероятностей, соответственно меняя математическое ожидание.

Пусть Wt – стандартное броуновское движение с (нулевым дрейфом и единичной дисперсией) при вероятности P.

Согласно теореме Гирсанова, процесс определяется как

W't = λt + Wt,

стандартное броуновское движение при мере вероятности Qt с производной Радона–Никодима:

Функция V выигрыша от броуновского движения (т. е. производная ценная бумага) оценивается таким образом, что ее математическое ожидание в рамках вероятностной меры Q является ожиданием в рамках вероятностной меры P, умноженным на производную двух мер:

EQ(V) = EP(dQt / dPV).

Поэтому

EQ(V) = EP(exp (1/2λ2 t – λW't).

С помощью этих элементов читатель может интуитивно понять механизм ценообразования барьерных опционов.

Ценообразование барьерных опционов

Результаты, представленные ниже, вдохновлены работой Дуади (Douady, 1996).

Трейдер начинает с опциона колл и на уровне интуиции выводит механизм ценообразования:

● Ап-аут-колл CUO = при мере вероятности P (риск-нейтральной), дисконтировании, умножении на exp(–rt) и математическом ожидании Max(S – K, 0), как и ранее, в соответствии с формулой Блэка–Шоулза–Мертона, но при условии, что барьер HL не будет задет.

Соответственно, трейдер должен начать с S0 < H; в противном случае опцион будет исполнен сразу. При использовании теоремы Гирсанова процесс W't = l / σlog(St / S0) становится броуновским движением без дрейфа при вероятности

где λ = (r – d)/σ – σ/2.

Поэтому:

● Ап-аут-колл CUO = при мере вероятности Q, exp(–rt), умноженной на математическое ожидание exp(– ½ λ2t – λ/σ log(St/S0)), умноженной на (Max(S – K, 0), при условии, что не произошло касания барьера H;

● если использовать принцип отражения, плотность процесса (при Q) St при условии, что барьер HH не будет задет, равна плотности процесса H2/St.

Теперь можем перейти к следующему.

● Ап-аут-колл CUO = ожидаемая (дисконтированная) цена распределения St > K минус ожидаемая цена путей, которые касаются барьера H:

CUO = exp(–rt)(P1 – P2),

где

где

Если

и N(d1) = кумулятивное нормальное распределение d1, то

Отсюда получаем следующие формулы.

Ап-аут-коллы

CUO = exp{(–d)t}S0{N(d1) – N(d3) – α′(N(d6) – N(d8))} – K exp(–rt){N(d2) – N(d4) – α(N(d5) – N(d7))}.

Используя эти приемы, мы можем распространить метод на все другие опционы.

Ап-ин-коллы (CUI). Ап-ин-коллы – это ванильные коллы минус ап-аут-коллы. Следовательно,

CUI = exp{(–d)t}S0{N(d3) + α′(N(d6) – N(d8))} – K exp(–rt){N(d4) + α(N(d5) – N(d7))}.

Даун-аут-путы (PDO). Даун-аут-путы оцениваются так же, как ап-аут-коллы, но с помощью изменения расчетной единицы, в результате чего знак интеграла меняется на противоположный. Следовательно,

PDO = K exp(–rt){N(d4) – N(d2) – α(N(d7) – N(d5))} – exp(–dt)S0{N(d3) – N(d1) – α′(N(d8) – N(d6))}.

Даун-ин-путы (PDI)

PDI = K exp(–rt){l – N(d4) + α(N(d7) – N(d5))} – exp(–d)t S0{1 – N(d3) – α′(N(d8) – N(d6))}.

Даун-аут-коллы (CDO). Даун-аут-коллы можно оценивать двумя способами: когда они вне денег (т. е. страйк K выше, чем H) или когда они выключаются с внутренней стоимостью.

Случай 1: K ≥ H.

CDOK ≥ H = exp{(–d)t}S0{N(d1) – α′(l – N(d8))} – K exp(–rt){N(d2) – α(l – N(d7))}.

Случай 2: K ≤ H.

CDOK ≤ H = exp{(–d)t}S0{N(d3) – α′(l – N(d6))} – K exp(–rt){N(d4) – α(l – N(d5))}.

Даун-ин-коллы (CDI). Вышесказанное относится и к даун-ин-коллам.

Случай 1: K ≥ H.

CDIK ≥ H = exp{(–d)t}S0α′(l – N(d8)) – K exp(–rt) α(l – N(d7)).

Случай 2: K ≤ H.

CDIK ≤ H = exp{(–d)t}S0{N(d1) – N(d3) + α′(l – N(d6))} – K exp(–rt){N(d2) – N(d4) + α(l – N(d5))}.

Ап-аут-путы (PUO).

Случай 1: K ≥ H.

PUOK ≥ H = K exp(–rt){l – N(d2) – α(N(d7) – N(d5))} – exp(–d)tS0{1 – N(d1) – α′(N(d8))}.

Случай 2: K ≤ H.

PUOK ≤ H = K exp(–rt){l – N(d4) – αN(d5)} – exp(–d)tS0{1 – N(d3) – α′N(d6)}.

Ап-ин-путы (PUI). Этот опцион является, естественно, алгебраическим эквивалентом ванильного опциона минус опцион PUO. Если S0 > H, то его можно считать включенным и он будет оцениваться точно так же, как и ванильный опцион. В противном случае он будет оцениваться следующим образом.

Случай 1: K ≥ H.

PUIK ≥ H = K exp(–rt){N(d4) – N(d2) + αN(d5))} – exp(–dt)S0{N(d3) – N(d1)