Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

или другом виде воплощаются в действительности, как-то обусловливают ее, вносят в нее раздельность и осмысленность, т.е. делают ее ею же самой. Но в чем же разница? Что заставляет нас отделять от всех этих наук еще особую науку и ставить ее в какие-то совершенно специфические отношения к действительности?

Вопрос начнет разрешаться, как только мы вспомним, что единственная сфера бытия, где числовые конструкции триединой идеальной сферы находят для себя полное, адекватное и совершенно буквальное осуществление, это есть сфера природного бытия, природы. Ведь только там, где материя молчит, где она есть только абсолютный послушный выполнитель велений чистого числа, только там интенсивно-экстенсивно-эйдетическая сфера проявит себя целиком. Действительно, только математическое естествознание может напоминать нам действительность и общезначимость чистой математики; и только тут, где дана молчащая, неживая природа, где она механически и беспрекословно подчинена числу, где она механизм, только тут место той действительности, о которой говорит идеальная триединая сфера. Но ведь сейчас мы хотим трактовать нашу действительность не просто как механизм и материю нашу не просто как безгласную и пустую схему. Материя для нас есть нечто живое, саморазвивающееся, и настоящая действительность не пустой и равнодушный к себе и ко всему другому механизм. Потому-то мы и говорим тут об особой синтезированности с перво-принципом, т.е. об особой, а именно максимальной, его явленности, что тут мыслится живое движение, саморазвивающаяся жизнь (как это и дано первичнейшим и чистейшим способом в самом перво-принципе). Но тогда, очевидно, вся триединая идеальная числовая область является для такой действительности слишком отвлеченной. Она, конечно, тоже ее обусловливает, ибо вся математика базируется на арифметике, арифметика – на простом счете, а не умеет считать только тот, у кого еще или уже не действует разум. Все это, конечно, осуществлено не только в природе, но и в жизни, и в истории. Однако это все еще слишком отвлеченная структура для настоящей действительности. Настоящая действительность вмещает в себе самопроизвольность своего протекания, и потому ей всегда свойственна стихия случайности. Случайность же, данная в смысловой сфере, есть как раз вероятность. И потому теория вероятностей и статистика есть то в математике, что максимально близко отражает на себе действительность, и притом действительность не природы только, но и жизни, животной и социальной. Это уже будет не просто действительность числа, но история числа, понимая под этим как животное развитие и всю органическую жизнь, так и человеческую, социальную. Биометрика и пр. виды статистики имеют достаточно прочное место среди всех наук вообще.

Заметим, что возможна статистика и в применении к механическому миру. В особенности в современной науке приходится констатировать склонность к применению статистических методов в областях, где раньше безраздельно царили только одни механические законы. Это, однако, свидетельствует не о принципиальной тождественности тех или других методов, но о том, что и т.н. механическая действительность не всегда так уж механистична или что она отнюдь не всегда дает себя механизировать. Некоторые весьма важные добавления к проблеме вероятности мы укажем ниже, в § 49.

Итак, вот общее разделение всего нашего исследования:

A. Перво-принцип числа – общая теория числа.

B. Число в своем идеальном завершении.

· I. Сущность числа, или интенсивное число (арифметика, алгебра, анализ).

· II. Явление числа, экстенсивное число (теория континуума и геометрия).

· III. Действительность числа, эйдетическое число (теория множеств).

C. Реальное число, или число историческое (теория вероятностей и статистика).

Заметим, что эта диалектическая триада – сущность, явление, действительность – проводима решительно везде, в любой математической и логической области. Так, уже указанное выше общее разделение на чистую математику, математическое естествознание и культурно-социальную историю числа есть именно это разделение, только проводимое здесь в более широком масштабе. В области, например, арифметики или анализа мы также столкнемся с этим же разделением, хотя тут возможны и иные термины, и разные добавления и детализация.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЛА

I.

ОТГРАНИЧЕНИЯ

(УСТАНОВКА ЧИСЛОВОГО ПЕРВО-ПРИНЦИПА)

§ 10.

Вступление

Число является настолько основной и глубокой категорией бытия и сознания, что для его определения и характеристики можно брать только самые первоначальные, самые отвлеченные моменты того и другого. Математика – наука о числе – есть уже нечто вторичное по сравнению с самим числом. Если дана определенная диалектика числа, отсюда можно получить руководящие нити для диалектического анализа и самой математики как науки. Математика есть уже определенным образом скомбинированная теория и наука, а эта теория и наука предполагает, что уже есть определенный предмет для теоретизирования. И этот предмет надо вскрыть какими-то средствами, уже не просто математическими. Должно существовать определенное усмотрение предмета – той смысловой платформы, на которой будет разыгрываться математическая наука. И этой платформой может быть только вскрытие самого понятия числа, определение и философия его необходимых моментов – установок, без которых оно немыслимо. Этой до-теоретической задачей мы и должны заняться. Установивши прочно искомую платформу, т.е. получивши путем до-теоретического анализа то, что такое есть число в своем последнем существе, мы можем перейти к построению и науки о числе, именуемой как «математика», и выяснить диалектические основания этой последней как определенной системы.

§ 11.

Число не есть ни что-нибудь вещественно-качественное, ни вообще объективное

Что такое число в своем последнем существе?

Уже самая формулировка этого вопроса предполагает исключение всех вторичных и подсобных точек зрения. Прежде всего, можем ли мы сказать, что число есть что-нибудь объективное?

Всякому ясно, что число не есть что-нибудь объективное. В самом деле, число «пять» совершенно не зависит от того, имеется ли пять орехов или пять копеек. Определяя число «пять», мы не только можем исключить всякое рассуждение об орехах или деньгах, но мы обязательно должны это сделать, если не хотим затемнить предмет нашего определения и не хотим совсем потерять его из вида. Тем более мы должны отвлечься от всякой вещественной качественности, если хотим говорить о числе вообще. Итак, вот первая наша установка, наиболее ясная и четкая: число не есть что-нибудь в смысле вещественной качественности. Число относится к любой качественности и оформляет любую вещественность; и потому совершенно нет никакой нужды привлекать сюда что-нибудь вещественное или что-нибудь качественное.

Но может быть, число есть все-таки нечто объективное? Вещественная качественность есть только один из видов объективного бытия. Может быть, число есть какой-нибудь другой вид объективности? – И на этот вопрос приходится ответить отрицательно. Всякому ясно, что число относится также и ко всему субъективному. И в субъективном мире (например, в субъективных переживаниях) мы можем ориентироваться только