Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев
Этому утверждению числа в виде раздельного акта противостоит отрицание числа в виде раздельного акта, т.е. утверждение его в виде особой числовой слитности и неразличимости – континуума, – на основании которой могут возникнуть свои собственные, уже не чисто числовые, но как бы в некотором роде материально-континуальные оформления, т.н. геометрические. Вся эта континуально-геометрическая сфера составляет прямую диалектическую противоположность интенсивному числу и может быть с полным правом названа экстенсивным числом.
Наконец, мысль требует и объединения числовых и континуальных построений. Должно быть такое число, которое совмещает в себе и числовую различенность, и ту разную «расставленность» числовых актов, которая не содержится в счетном числе как таковом, но которая привносится только материальной континуальной средой. Это есть то, что называется в математике множеством. Множество вполне арифметично, это не геометрия; и тем не менее оно мыслится с точки зрения упорядоченности, т.е. отдельные счетные моменты поставлены здесь в ту или иную определенную фигурацию, почти, я бы сказал, оптически данную (конечно, мысленно оптически) связь. Это и значит, что множество есть синтез интенсивного и экстенсивного числа. Так как «эйдос» есть термин, указывающий на такую «сущность», которая дана оптически-фигурно (мысленно или физически), то целесообразно это синтетическое число назвать эйдетическим числом, тем более что и сам Кантор, создатель этой дисциплины, употреблял здесь именно греческое обозначение αριθμοι ειδητικοι, «эйдетические числа».
Интенсивное число вскрывает первую математическую сущность числа. Если общая теория дает сущность числа вообще, то теория интенсивности числа переводит нас в область самой математики, давая сущность уже математического числа. По сравнению с этим континуально-геометрическая система, или число экстенсивное, есть нечто внешнее, как бы материально сделанное. Чтобы считать, напр., до четырех, можно и не иметь представления о четырехугольнике; но чтобы иметь представление о четырехугольнике, уже надо понимать, что такое число «четыре», и надо уметь считать по крайней мере до четырех. Это значит, что число «четыре» есть нечто более первоначальное (в логическом смысле), более внутреннее, то, что лежит в глубине идеи четырехугольника. Четырехугольник внешними средствами выявляет арифметическую сущность числа «четыре», и выявляет ее инобытийными, континуально-геометрическими средствами. Это дает нам право называть экстенсивное число не сущностью числа (как интенсивное число), а его явлением.
Сущность и явление, опять-таки по железной необходимости диалектического процесса, должны неминуемо объединиться вместе, слиться в нечто третье, с точки зрения чего они – только абстракция. В диалектике сущность и явление синтезируются в действительность. Ибо то и другое – только абстрактно выделенные моменты из того, что реально существует. Нет ни сущности без явления, ни явления без сущности. Сущность должна как-то являться, а явление должно быть проявлением сущности. Избежать кантовского дуализма «вещи в себе» и «явления» можно только путем диалектики, которая умеет синтезировать обе эти абстрактные сферы в некую реальную, конкретно данную действительность. Эйдетическое число и есть действительность числа.
Этим, однако, все еще не заканчивается общая сфера числа. Существует еще одна модификация числа, которая еще ближе к конкретному бытию, ближе всего, что нами сейчас переименовано. И диалектическое место ее рисуется с неумолимой требовательностью. Именно, три основных сферы числа, число интенсивное, экстенсивное и эйдетическое, суть выявление перво-принципа числа, явленная идея чистого числа. Но уже помимо того что вся эта триединая область противостоит перво-началу, остается вместе с ним на степени некоего дуализма, помимо этого идея все же остается идеей, и она продолжает противостоять фактам так же, как перво-принцип противостоит ей самой. Это, разумеется, не значит, что математика есть часть естествознания. Такое утверждение было бы полным непониманием конкретной сущности математики. Вместо такого искажения мы должны в самой математике подыскать такую сферу, которая бы вместила в себя факты, оставаясь, однако, самой собой, т.е. чистым учением о чистом числе. И такая область действительно существует. Для ее дедукции важны два обстоятельства – синтетичность в отношении перво-принципа и противостоящей ему триединой числовой сферы (интенсивность, экстенсивность и эйдетичность) и вмещение – числовое же, конечно, – текучей и случайной стихии действительности.
Первое обстоятельство, по крайней мере как задание, элементарно ясно для всякой самой примитивной точки зрения в диалектике. Интенсивно-экстенсивно-эйдетическое число есть число так или иначе положенное – в сравнении с сверхполагаемым первоначалом; оно есть раздельность, и в этом смысле оно есть инобытие первоначала. В чем же их синтез? Какую форму примет тут «становление» и «ставшее» – категории, всегда, во всяком диалектическом построении являющиеся синтезом бытия и небытия? Перво-принцип есть вечное творчество, вечное возникновение, поток для всего возникающего; это базированность на самом себе и независимость ни от чего, т.е. полная свобода. С другой стороны, раздельность, царящая в триединой области числового бытия, есть всегдашняя связанность, взаимообусловленность, координированность. Синтезом того и другого должно явиться нечто такое, что тоже дано в связанном и законченном виде, но так, чтобы это не мешало полной свободе протекания данного явления, чтобы ему была свойственна самопроизвольность и в этом смысле как бы случайность появления и протекания. Разумеется, если взять реальную человеческую действительность, и даже не человеческую, а просто общеживотную, то ведь тут решительно все факты и события именно таковы. Всякий животный индивидуум действует сам за себя и совершенно свободно, в то время как тут же мы видим полную связанность его с общей животной или социальной жизнью. Однако мы не можем считать ни биологию, ни социологию частью математики без уничтожения настоящей физиономии всех этих наук, и биологии с социологией, и самой математики. Мы должны, оставаясь на почве чистого же числа, дать такую его модификацию, которая бы совместила смысловую раздельность явления с произволом и самостоятельностью его возникновения и протекания. Это мы и имеем в т.н. теории вероятностей, где как раз теоретическая оформленность числа такова, что она учитывает и всю случайность протекания процессов действительности.
Второе обстоятельство, важное для выяснения формулируемой математической области, – это то, что не только сверху мы находим диалектический синтез перво-принципа числа и его принципа, но и снизу данная область есть именно та, которая создана для учета самопроизвольно протекающих процессов действительности. Мы видели, что интенсивно-экстенсивно-эйдетическое число тоже осуществляется в действительности. Арифметика, алгебра, геометрия, анализ и теория множеств суть науки, не просто витающие где-то в пустотах рассудочного воображения, но они обязательно так или иначе, в том
