Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Почти завершился длинный и трудный путь от Principia matbematica А. Уайтхеда и Б. Рассела (1913) к «Основаниям математики» Д. Гильберта и П. Бернайса (1939), уже начиналась (в том же 1939 году) многолетняя многотомная сага Никола Бурбаки, и уже был получен основной результат К. Гёделя (1931), указующий подобным титаническим усилиям нежданно убедительный предел[102]. Во-вторых, эта проделанная целой армией мыслителей работа лишний раз убеждала самого Лосева в том, что подлинно философское осмысление математического материала еще слишком далеко от завершения и что «философию числа» можно и должно строить – ему, здесь и теперь (а нам, следовательно, точку и фон необходимо различать).

Различать так различать. Прежде всего, лосевское понимание природы математических объектов максимально чуждо (еще не вполне изжитому тогда в науке) психологическому подходу, выводящему представление о числе непосредственно из некоторого комплекса переживаний субъекта. Автором «Диалектических основ математики» отрицалась и куда более известная, а для отечественной философской общественности советского периода даже едва ли не единственная, доктрина о научных, в том числе математических понятиях как результате абстракции, отвлечения от материальной действительности. При весьма почтенном возрасте, – уже после Аристотеля «математические предметы» надо было рассматривать,

«полагая что-то обособленно от привходящих свойств» (Met. 1078 a 15),

– и при наличии непрестанно возобновляемой череды апологетов (здесь видное место занимала как раз С.А. Яновская, один из главных идейных оппонентов Лосева), надо подчеркнуть, метод абстракции всегда страдал принципиально важным дефектом: сама установка на абстрагирование имплицитно содержит знание именно того понятия, которое надлежит определить. Это есть, как известно, логический круг. Отметим к случаю, что прямую борьбу с аристотелевским пониманием числа как абстракции Лосев проводил в работах «Диалектика числа у Плотина» (1928) и «Критика платонизма у Аристотеля» (1929)[103]. В этих специальных античных экскурсах он приглашал современного читателя вернуться к старинному спору между Платоном и Аристотелем о природе числа, чтобы заново рассмотреть аргументы сторон и – таково задание Лосева – осознанно реабилитировать платонизм в математике.

Не столь однозначно отрицательным было отношение Лосева к логицизму. С одной стороны, ему безусловно импонировали начинания некоторых выдающихся ученых, приступивших на рубеже XIX и XX веков к строительству оснований математики на аксиоматических принципах. Действительно, подобно тому как приверженцы методов Пеано и Гильберта получали многочисленные математические истины из немногих базовых утверждений-аксиом, так и Лосев последовательно (от немногих содержательных посылок ко многим формальным и неформальным следствиям) выводил и отдельные математические понятия, и развернутые теоремы, и целые типологии математического знания. Громадное древо математики произрастает из малого зерна, с нею по мере роста развертываются и ее аксиомы. Тут действительно уместны высказывания подобного «ботанического» окраса, ибо сама аксиоматика, по Лосеву,

«основана на последовательном созревании категорий» (391).

Однако, с другой стороны, для него были неприемлемы многие изначальные, родовые особенности гильбертовской школы.

· Это и демонстративный формализм, т.е. сосредоточение на проблемах непротиворечивости вывода при игнорировании содержательных интерпретаций (для философа, многому научившегося у Вл. Соловьева, подобная позиция попросту безжизненна),

· это и установка на строго обозримые «финитные» методы рассуждений (потому формалистам предписывалось навсегда «изгнать» важнейшую идею актуальной бесконечности),

· это, наконец, рискованная самозамкнутость гильбертовской теории доказательств[104].

Последняя особенность требует отдельного комментария.

Гильбертовская программа спасения классической математики от парадоксов, по определению С. Клини (1967), состоит в следующем: математика

«должна быть сформулирована в виде формальной аксиоматической теории, после чего следует доказать ее непротиворечивость, т.е. установить, что в этой формальной аксиоматической теории нельзя доказать противоречие»;

сами доказательства при этом становятся

«предметом специальной математической дисциплины, названной Д. Гильбертом метаматематикой, или теорией доказательств»[105].

Данная программа полагалась к реализации для арифметики, функционального анализа и, в перспективе, геометрии. Уже над отдельными фрагментами математики старательно возводились ажурные конструкции гильбертовой метаматематики (это оказалось изнурительно трудным занятием), когда подоспели знаменитые теоремы Гёделя.

Здесь выяснилось, во-первых, что во всякой математической теории можно сформулировать вполне осмысленное (правильное), но недоказуемое и, вместе, неопровержимое утверждение, т.е. внутри всякой такой теории, содержательно достаточно богатой, гарантировано присутствие сомнительной ее составляющей. Потому доказательство «изнутри» невозможно.

Выяснилось, во-вторых, что непротиворечивость данной формальной теории доказывается только в рамках иной, более развернутой формальной теории, та в свою очередь нуждается в новом расширении, и т.д. Потому доказательство непротиворечивости «извне» всегда незавершимо.

Таким образом, было строго доказано наличие принципиальных ограничений на строгость доказательств в математике. Это фактически указывало на необходимость выхода за пределы метаматематики (по Гильберту) в объемлющие ее области, причем по двум путям: либо пытаться преодолеть барьер, поставленный результатами Гёделя, за счет отказа от прежнего экстремизма и создания новых формальных методов и повторного (через них) обращения к проблеме существования математических объектов, либо развивать более содержательную «метаматематику», действительно конструируя такие объекты из некоторых первооснов и первоэлементов, уже не прибегая к математическим формализмам. Первым путем и по сей день следуют многие специалисты по основаниям математики, по второму пути пошел Лосев и больше, кажется, никто.

Тут у нас настает момент уточнения терминологии. В самом деле, насколько правильно будет связывать «метаматематику» впрямую с именем Лосева? Ведь мы знаем, что сам автор называл свое учение либо, вполне определенно, «диалектическими основами математики» (как в названии этой основной своей книги по философским вопросам математики), либо, вполне общо, «философией числа» (этим обозначением мы и сами уже пользовались в предыдущем изложении). Кроме того, термин еще и «занят» под название сугубо математической дисциплины, введенной, как сказано, Давидом Гильбертом. И все-таки смысловой пласт этого термина «метаматематика» слишком богат и ценен, чтобы отказываться от него, доверяясь лишь формальным доводам.

Заметим прежде всего, что построения Лосева нигде не расходятся с математическими данными. Автор даже с некоторой (методологически оправданной) назойливостью и монотонностью вновь и вновь показывает, где и как его содержательная аксиоматика, его «основоположения числа» естественно перерастают в аксиомы и теоремы самой математики. Можно сказать, философская метаматематика Лосева проделывает свой отрезок пути и заканчивается там, где начинает собственно математика, – в изощрениях профессионалов-нефилософов. Логически Лосев оказался раньше, впереди, прежде специалистов по математике и ее основаниям. Исторически имелась уже математика со всеми ее достижениями, принципиальными кризисами, необозримостью тем и предметов, когда явились на свет (точнее, от света, «в стол» московского одиночки) построения новой метаматематики. Эта ситуация определенно повторяет одну весьма давнюю историю, – вспомним происхождение явно родственного «метаматематике» термина. Последний возник случайно, когда Андроник Родосский (I в. до Р.Х.), заново упорядочивая и переписывая труды Аристотеля, вслед за группой сочинений «о природе» (ta phisika) поместил другую группу