Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев
Философия чистой математики.
Область собственно математики, с точки зрения философа, разделяется также на три сферы (39):
· общая теория (логика) числа, исследующая перво-принципы числа, число как таковое, сущность числа,
· философия математических дисциплин, специальная теория числа, теория числа в частности, числа как явления,
· философия теории вероятностей и математической статистики, исследующая число в казусах, в жизни, в действительности.
Дошедшая до нас часть «Диалектических основ математики» вполне представляет всю общую теорию числа (§ 10 – 78) и дает переход к специальным вопросам (§ 81 и далее). Отдельного исследования «числа в жизни», т.е. специального рассмотрения теоретико-вероятностной проблематики автор не оставил, однако о многом мы имеем возможность судить: в «Диалектических основах математики» каждый шаг лосевской аксиоматики получал свое завершение и разъяснение именно на материале данного слоя математической реальности.
Специальная теория числа.
Здесь также проводится классическое триадное разделение (417 – 425):
· науки о бытии или сущности числа, об интенсивном числе (это – предмет арифметики, алгебры, анализа),
· науки об инобытии или явлении числа, об экстенсивном числе (геометрия),
· теория множеств как наука о синтезе арифметической и геометрической ипостасей числа, об эйдетическом числе.
Второй и третий разделы, строго говоря, нужно отнести к утратам. Исчез, например, целый том по геометрии, о котором Лосев несколько раз упоминает (213, 222) и куда отсылает за подробностями. Однако примем в расчет, что логико-диалектической проработкой геометрических идей автор занимался уже на страницах книги «Античный космос и современная наука». С тем же упреждением осваивалась и теоретико-множественная проблематика, если иметь в виду раннюю «Музыку как предмет логики». Словом, уже дошедшего – много. Даже одно только напоминание о глубинном единстве наглядно-геометрических и счетно-арифметических подходов, убедительно демонстрируемое лосевской метаматематикой, будет весьма кстати сегодня, когда философы и математики все еще бьются над во многом уже решенными, оказывается, вопросами. Для примера укажем тему оппозиции «арифметического» (Rechnen) и «геометрического» (Zeichnen), о которой всерьез заговорил за рубежом Д. Фанг, а у нас – К.И. Вальков[112]. Пора на самом деле
«обратиться к беспристрастному и ко всему одинаково равнодушному суду диалектики» (377),
а не замирать, по Фангу, в безмолвном ужасе перед сфинксом
«единой и неделимой и, в конечном итоге, непостижимой тотальности»
математики или же вместо одной крайности – излишней «арифметизации» впадать в другую – в крайность «геометризма»[113].
Бытие числа (интенсивное число).
Науки о бытии или сущности числа можно представить, согласно Лосеву, в виде диалектической триады:
· арифметика и алгебра как учения о неизменной сущности числа, о постоянных величинах и их функциях,
· дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления как учения об инобытийной изменчивости числа, о переменных величинах и их функциях в скалярной форме,
· векторное и тензорное исчисления как учения о действительности числа, о числе синтетическом, ориентированном, направленном.
Здесь второй и третий разделы, если опираться только на «Диалектические основы математики», также следует считать утраченными. Однако достаточно определенный анализ, касающийся диалектической сущности, например, дифференциала и интеграла также отыскивается в книге «Музыка как предмет логики». Утрату содержательной части второго раздела отчасти восполняет сохранившаяся работа Лосева «Некоторые элементарные размышления о логических основах исчисления бесконечно-малых», ныне опубликованная.
Арифметика и алгебра.
Внутри первой сферы интенсивного числа Лосев выделяет очередную триадическую структуру:
· арифметика как учение о непосредственной сущности числа в ее бытии, о числе в себе,
· алгебра как учение о непосредственной сущности числа в ее инобытии, о числе функционально выраженном,
· алгебраический анализ (теории форм, инвариантов и др.) как учение о непосредственной сущности числа в ее становлении.
Как следует из публикуемого «Содержания» первой книги «Диалектических основ математики», степень детализации построений лосевской метаматематики была столь велика, что к темам алгебры переход планировался лишь в самом конце обширного тома. Все дальнейшее кануло в Лету. А нам осталось предпринять еще одно посещение мира числовых триад, нам остается назвать и последние структуры в лосевском описании.
Арифметика.
Внутри арифметики, согласно общей диалектической схеме Лосева, следует различать:
· натуральный ряд как бытие сущности числа, как акт ее полагания;
· типы чисел (отрицательные, рациональные, мнимые и др.) как инобытие чисел натурального ряда;
· действия с числами как становление сущности числа, типы числовых комплексов в разнообразных направлениях и комбинациях счета.
Сохранившийся текст «Диалектических основ математики» заканчивается как раз на материалах третьего из названных разделов. По части арифметики, можно считать, автор вполне реализовал свой план.
·
На полученную последовательность – анфиладную последовательность одна в другую врастающих триад – еще нужно наложить объединяющий все шаги и этапы процесс, чтобы картина получилась полной: ведь вся математика, показывает и доказывает Лосев, есть не что иное, как развитое и детализированное понятие числа. Число как первая категория, первая «осмысленная, оформленная положенность, категориально оформленная положенность» (105), как «слепительное», напомним, «Да» составляет саму основу математических объектов. Всё есть число. Остается только оговорить: ту перво-категорию, тот «акт полагания подвижного покоя самотождественного различия», что пронизывает, по Лосеву, любые закоулки математики, не обязательно называть именно «числом». Действительно, в угоду пуританской строгости можно окрестить названную фундаментальную логико-диалектическую конструкцию каким-либо специальным образом, к примеру назвать ее по случаю и в честь Лосева «L-выражением» (впрочем, «выражение» – это еще слишком лосевский термин) или «L-кортежем»[114]. Далее придется поступить так, как уже приходилось действовать в области математической логики, т.е. в области формальной, нелосевской метаматематики, причем именно в 30-х годах. А именно, там вместо интуитивно ясного, но строго не определенного понятия «вычислимой функции» принялись тщательно изучать свойства так называемых общерекурсивных функций, определяемых уже алгоритмически точно. Следующим шагом было показано, что у вновь введенного формализма достаточно изобразительной мощи, чтобы заместить собой исконно расплывчатое понятие «вычислимости». Наконец, между классами содержательных и формальных функций была провозглашена эквивалентность (в форме «тезиса Черча»), – именно провозглашена, а не доказана, поскольку именно доказательство эквивалентности невозможно ввиду принципиальной несводимости, принципиально различной природы сравниваемого. Желающим увековечить свое имя в новом «тезисе» можно предложить аналогичную проверку для числа и L-кортежа. Впрочем, изучая «Диалектические основы математики», нетрудно убедиться, что Лосев сам положил много усилий для демонстрации справедливости подобного «тезиса» и повсеместно обнаруживал, как математический материал «с огромной точностью
