Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

когда им Лосев на это ответит, что они не творцы истин, а только их передатчики другим, то это, конечно, обидно. Тут, однако, невозможно примирение. Те немногие намеки на глубины математического творчества, которые он делает в § [.] и для которых он мог бы привести десятки подкрепляющих мест из классиков математики, конечно, будут квалифицированы как мистицизм. Но Лосев никогда не сможет согласиться, что математическое творчество есть само по себе сухая и рациональная схема, лишенная внутреннего пафоса, летающей интуиции, а также того поднимающего и волнующего восторга ума, когда этот ум созерцает числовую идею. Но я знаю, что это бывает именно так, в большой или малой форме. Для этой творческой интуиции, реальной так же, как таблица умножения, должна быть найдена своя логическая категория в общей системе философии числа. И не нужно укорять Лосева за то, что он хочет эту реальнейшую вещь зафиксировать принципиально и терминологически.

Изучая то, что содержится в математических руководствах, Лосев естественно находит только какие-то обрывки истины, на которых невозможно построить никакой философской теории. Чтобы понять философский смысл теоремы, ему приходится привлекать и многое такое, что вовсе не требуется для обычного употребления этих теорем; и он в конце концов наталкивается на то основное, первоначальное и чисто интуитивное, рационализацией чего явилась сама теорема. Тогда он подвергает эту найденную им интуицию уже философской рационализации, и вот в результате получается философский дублет для математической теоремы. Такой способ изучения математики никак нельзя назвать неинтересным, и тут многому можно поучиться.

Достаточно указать на то,

· что учение Дедекинда о непрерывности имеет под собой, по учению Лосева, интуицию цветного поля, в котором один цвет незаметно переходит в другой,

· что Кантор в своем континууме имеет в виду непрерывность раздельного целого, например, непрерывность и цельность букета, в котором много цветов соединены в одно целое,

· что под интегралами Эйлера лежит «эстетическая идея» Канта,

· что под признаком трансцендентности числа у Лиувилля – шеллингианское учение о мировых потенциях,

· что современные теоретики множества воспитаны под влиянием импрессионистического физиономизма,

· что изобретатели исчисления бесконечно малых Лейбниц и Ньютон воспринимали мир как чистую фугу и сонату, а Коши – как программную симфонию,

· Гильберт с вещами вроде неархимедовой геометрии или кривой Пеано – Гильберта – как футуристическую патологию,

и т.д. и т.д.

Во всем этом много условного и, может быть, произвольного, но невозможно отрицать самого метода. Вместо абстрактных споров об «интуиционизме» и «формализме» тут яснейшим образом показано, где реально в математике интуиция и где рациональная форма. После этого упомянутые споры теряют всякое значение. После Лосева надо будет спорить иначе об этих вещах.

Интуиция, иррациональное, внутренний символ и миф и, с другой стороны, рационализация, систематика, диалектика – вот между какими пределами движется философия Лосева. Я не раз была свидетельницей того, как эта интуиция с восторгом обреталась после длительных поисков и как она вновь отменялась после новых соображений. Так, философ один раз не в переносном, а в буквальном смысле затанцевал, когда мы после мучительных усилий напали на интуитивную картину взаимного движения вещественных и мнимых фокусов в кривых второго порядка при последовательном переходе их одна в другую. В другой раз Лосев забил себе в голову какую-то совершенно непонятную картину интегрирования между мнимыми пределами. И когда я скромно напомнила ему, что то же явление происходит и в криволинейных интегралах, то первой реакцией со стороны философа было классическое, но ничего не говорящее:

«Тем хуже для криволинейных интегралов!»

Однако недоразумение обнаружилось тотчас же, и философу пришлось кое-что изменить в «интуитивной» картине интегралов с комплексными переменными. Одну общую идею из этой области я сама подала ему еще в 1924 г., занимаясь в тот период аналитическими функциями. Но впоследствии я и сама была этому не рада, так как мне же и приходилось постоянно вносить расхолаживающую струю математических формул и теорем в эту неистовую философию, когда она становилась чересчур интуитивной или чересчур диалектичной.

Не нужно преувеличивать достижения этой многолетней работы Лосева, но не нужно ее и приуменьшать. Если скажут, что это не диалектика, или что это – метафизика, или что математика в этом не нуждается, или что это настолько мракобесный идеализм, что в нем и поучиться нечему, то все это, конечно, будет вздор. Что логический аппарат, пущенный тут автором в ход, не везде работает одинаково хорошо, что местами он, может быть, и совсем не годится, – это вполне возможно. Но важно, что начато большое дело и начато сильно, глубоко, уверенно, со вкусом. И никто не сможет никому воспрепятствовать начинать его еще по-новому, если этот первый почин не везде удовлетворителен.

29.1.1936 г.

ДИАЛЕКТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МАТЕМАТИКИ

Введение (Общее разделение наук о числе)

§ 1. Первая противоположность: чистая математика и математическое естествознание

§ 2. Число как факт духовной культуры

§ 3. Психо-биология и социология числа

§ 4. Философия числа

§ 5. История наук о числе

§ 6. Общая схема диалектического разделения основных наук о числе

§ 7. Разделение философии числа

§ 8. Диалектические основы математики

§ 9. Разделение их

Общая теория числа

§ 10. Вступление

I. Отграничения (Установка числового перво-принципа)

§ 11. Число не есть ни что-нибудь вещественно-качественное, ни вообще объективное

§ 12. Число не есть что-нибудь субъективное

§ 13. Число относится к чисто смысловой сфере

§ 14. Число и понятие

§ 15. Число есть самый акт смыслового полагания, а не содержание этого полагания

§16. Число, количество и величина

II. Фундаментальный анализ числа (Число как понятие)

§ 17. Первая установка

§ 18. «Нечто» и переход его в «это»

§ 19. «Иное этого»; различие, тождество, движение, покой

§ 20. «Ничто» и абсолютно-самотождественная неразличимость актов полагания – перво-принцип числа

§ 21. Основная диалектика понятия числа:

I. Супра-акт. II. Ин-акт (акт полагания) и III. Контр-акт (акт отрицания) (едино-раздельный акт). IV. Инфра-акт (становящийся акт). V. Интра-экстра-акт (ставший акт). VI. Энергийный акт, или полное число

§ 22. Аналогии

§ 23. Основа всего – диалектическая жизнь и развитие перво-акта

§ 24. Проверка на функциях натурального ряда

§ 25. Проверка на отдельном числе

§ 26. Диалектика различия, тождества, движения и покоя в числе

§ 27. Формула понятия числа

§ 28. Сущность числовой модификации общесмыслового эйдоса

§ 29. Отграничение понятия числа сверху

§ 30. Отграничение понятия числа снизу

§ 31. Итог фундаментального анализа

III. Основные аксиомы числа (Число как суждение)

A) Общая теория

§ 32. Обычные предрассудки

§ 33. Сущность математической аксиоматики

§ 34. Разделение всей общей теории числа и место аксиоматики в ней

§ 35. Общая основа всех аксиом

B) Система

a) Аксиома числового перво-принципа

§ 36. Неразличимость

§ 37. Неразличимость как принцип различимости

§ 38. Неразличимость как