Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

§ 39. Самосозидание

§ 40. Везде и нигде

§ 41. Число и время

§ 42. Число и музыка

§ 43. Формула перво-принципа

b) Аксиомы едино-раздельности числа (или его идеальной структуры)

§ 44. Необходимые предварительные установки

I. Самотождественное различие

§ 45. Аксиома самотождественного различия в арифметике

§ 46. Аксиома самотождественного различия в геометрии

§ 47. Аксиома самотождественного различия в теории множеств

§ 48. Формулировка выведенных трех аксиом при помощи понятий элемента и части

§ 49. Аксиома самотождественного различия в теории вероятностей

II. Подвижной покой

§ 50. Аксиома подвижного покоя в арифметике

§ 51. Аксиома подвижного покоя в геометрии

§ 52. Аксиома подвижного покоя в теории множеств

§ 53. Аксиома подвижного покоя в теории вероятностей

III. Определенное бытие

§ 54. Аксиома определенности (бытия) в арифметике

§ 55. Аксиома определенности (бытия) в геометрии

§ 56. Аксиома определенности (бытия) в теории множеств

§ 57. Аксиома определенности (бытия) в теории вероятностей

§ 58. Общий результат аксиом идеальной едино-раздельности числа

c) Аксиома становления числа (или его непрерывности)

§ 59. Принцип становления как принцип непрерывности

§ 60. Аксиоматическая диалектика непрерывности

§ 61. Аксиома непрерывности в отдельных математических науках

§ 62. Взаимодействие аксиом едино-раздельности и становления

§ 63. Продолжение

d) Аксиома ставшего числа (или конгруэнтности)

§ 64. Принцип ставшего числового бытия как принцип конгруэнтности

§ 65. Аксиома ставшего числового бытия в арифметике

§ 66. Аксиома ставшего числового бытия в геометрии

§ 67. Аксиома ставшего числового бытия в теории множеств

§ 68. Аксиома ставшего числового бытия в теории вероятностей

e) Аксиома выражения (или выразительной измеримости)

§ 69. Общий принцип выразительной измеримости

§ 70. Аксиома выражения в арифметике

§ 71. Аксиома выражения в геометрии

§ 72. Аксиома выражения в теории множеств

§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей

f) Общее заключение

§ 74. Итог аксиоматики

IV. Функция и соседние категории (Число как суждение, умозаключение, доказательство и выражение)

§ 75. [Определение и суждение]

§ 76. Понятие функции

§ 77. Функционал и алгоритм

§ 78. Общность полученных результатов

V. Переход к специальной теории числа

§ 79. Перевод математики на язык логики

§ 80. Общая схема

I. Число интенсивное

§ 81. Разделение

§ 82. Терминологические замечания

1. Сущность (Арифметика, алгебра, алгебраический анализ)

§ 83. Разделение

A. Арифметика (сущность числа в ее бытии)

§ 84. Разделение

I. Натуральный ряд (бытие сущности числа)

§ 85. Единица и соседние категории

§ 86. a) Безграничное дискретное множество.

· b) Равенство (неравенство)

§ 87. c) Порядковость

§ 88. Резюме и дедукция натурального ряда

§ 89. Диалектическая формула натурального ряда

§ 90. Переход к типам числа

II. Типы числа (инобытие сущности числа)

1. Внешнее инобытие

§ 91. a) Положительное число

§ 92. b) Отрицательное число

§ 93. c) Нуль

2. Внутреннее инобытие

§ 94. a) Целое число

§ 95. b) Дробное число

§ 96. c) Бесконечность

§ 97. Продолжение

§ 98. Продолжение (о форме бесконечности)

3. Внешне-внутреннее инобытие

§ 99. a) Рациональное число

§ 100. b) Иррациональное число

§ 101. Постоянная, переменная, непрерывная и прерывная величина

§ 102. Предел

§ 103. Продолжение

§ 104. Переход к мнимости

§ 105. c) Мнимая (комплексная) величина. Общее понятие

§ 106. Гауссовское представление

§ 107. Некоторые детали

§ 108. Обозрение предыдущего

4. Энергийно-эманативное выражение

§ 109. Алгебраическое число

§ 110. Трансцедентное число (диалектическая категория)

§ 111. Трансцедентное число (математическая конструкция)

§ 112. Трансцедентное число (в связи с трансцедентными функциями)

§ 113. Гипер-комплексное число

§ 114. Дополнительные замечания к учению о типах числа

III. Арифметические действия (становление сущности числа)

§ 115. Основная дедукция

§ 116. Сложение и вычитание

§ 117. Умножение и деление

§ 118. Возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование

§ 119. Заключение

IV. Комбинаторно-матричное исчисление (ставшая сущность числа)

§ 120. Отношение, пропорция, ряд

§ 121. Делимость чисел. Комбинаторика. Детерминанты

§ 122. Матрицы

V. Учение о композициях (выраженная сущность числа)

§ 123. Общая ориентация

§ 124. Группы и сравнения

§ 125. Геометрия чисел

§ 126. Кольца и поля

VI. Заключительный обзор диалектической структуры арифметики и переход к алгебре

§127. Обзор

§ 128. Переход

ВВЕДЕНИЕ

(ОБЩЕЕ РАЗДЕЛЕНИЕ НАУК О ЧИСЛЕ)

§ 1.

Первая противоположность: чистая математика и математическое естествознание

Всякая вещь и всякий предмет мысли есть прежде всего нечто само по себе сущее, а затем он есть нечто существующее в мысли и в отношении с прочим бытием. Разумеется, полная действительность вещи не та, которая свойственна ей в ее абстрактно-изолированном состоянии, но та, которая принадлежит ей в ее всестороннем взаимоотношении со всем прочим. Однако в целях уразумения действительности мы разделяем ее на отдельные, более или менее абстрактные моменты и изучаем их изолированно, с тем чтобы потом, во-первых, объединить их в целое, а, во-вторых, не просто объединить, а воссоздать ту их общую жизненную связь, из которой они были извлечены первоначально.

Отсюда, как бы мы ни думали, что идее принадлежит лишь абстрактное существование, и как бы ни верили в то, что только материальное существование есть полная действительность той или другой идеи, мы все же с самого начала поставлены перед абсолютной необходимостью понять число в его идее, в его сущности, в его первоначальном смысловом содержании. Потом мы узнáем, как эта идея претворяется в действительность, что сначала надо знать, что же такое само-то число по себе, в чем его сущность и чем оно существенно отличается от всего прочего. Так возникает основная антитеза идеи, смысла, существа числа и его явления, его осуществления, числа как отвлеченного понятия и числа как предметного явления, антитеза чистой математики и математического естествознания.

§ 2.

Число как факт духовной культуры

Диалектическая философия знает, однако, ту сферу, где обе эти области совмещаются, с точки зрения которой обе они являются только абстракцией. Обычно думают, что чистая идея числа абстрактна, а вот число в природе, например т.н. законы природы, – это не есть абстракция, это есть сама действительность. С современной точки зрения такой взгляд на действительность, однако, совсем не может быть защищаем. Это для нас очень бедная, очень плоская действительность. Наша действительность – только историческая, и только в истории всякая идея достигает своей последней конкретности. Поэтому «число в природе» для нас никак не есть последняя реальность. Это условная, нетвердая и глубоко временная реальность, гораздо менее «реальная» для нас, чем т.н. природа. Не человек есть часть природы, а природа есть часть человека. Человек богаче, конкретнее, реальнее, живее и жизненнее природы. И только в истории, в человеке, идея и природа сливаются в живое единое; только тут, в человечестве, действительность становится конкретно ощутимой, творимой, жизненной. Поэтому историческая точка зрения на число – необходимое завершение учения о числе – и учения о смысле его чистой идеи, и учения о смысле его природно-материальной осуществленности.

Однако достигнуть полноты исторического исследования нельзя сразу, имея только материал логики числа и математическое естествознание. История числа включает в себя и преодолевает собою еще ряд дисциплин, и только при условии наличия этих дисциплин можно начинать строить подлинную историю числа. Именно, число должно быть сначала