Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

В нашем простом примере представлен опцион «или-или» на два актива (A и B), каждый из которых в настоящее время торгуется на уровне 100, с двумя ценами страйк – 100 для актива A и 100 для актива B. Читателю нужно сначала рассмотреть чувствительность структуры за 30 дней до экспирации, а затем увеличить этот срок до 6 месяцев для более глубокого анализа. Оба актива торгуются с волатильностью 15,7 %. Предположим, что начальная корреляция между ними составляет 50 %.

Обратите внимание, что можно масштабировать активы для базы, отличной от 100, при условии, что и цены, и страйки умножаются на одну и ту же величину.

На интуитивном уровне понятно, что окончательная выплата (рис. 22.1) покрывает больше областей, чем любой из двух опционов в отдельности, но она несколько меньше суммы выплат по двум независимым опционам (см. рис. 22.2 и 22.3).

С учетом принципа загрязнения видно, что цена структуры по мере сокращения времени до экспирации надувается, как воздушный шарик, а потом «зависает под потолком» (рис. 22.1), поскольку сокращаются и волатильность, и время до экспирации.

Помимо обычного набора греков структура демонстрирует чувствительность к корреляции. На самом деле она имеет корреляционную вегу, которую исследователи обычно игнорируют, поскольку из-за плохой подготовки в области точных наук считают корреляцию постоянной.

На рис. 22.4 показана чувствительность структуры к корреляции. Поскольку корреляция находится в границах между –1 и 1, трейдеру не придется тратить много времени на моделирование структуры с двумя активами. Структура с более высокими измерениями потребует более сложного матричного анализа.

При корреляции на уровне 1 говорить об опционе на два актива фактически не приходится. Поскольку оба актива оцениваются с одинаковой волатильностью, структура может торговаться по цене любого из них. Если (по какой-то причине, обусловленной перекрестной волатильностью между активами A и B) волатильность активов различается, структура будет характеризоваться более высокой из двух волатильностей.

При корреляции на уровне –1 структура торгуется по цене, в два раза превышающей стоимость обычного опциона, потому что гарантированно находится в деньгах по одному из двух активов. Для каждого движения вниз по одному активу оператору гарантировано движение вверх по другому активу, так что один из активов обязательно будет в деньгах.

Примечание. В нашем примере оба опциона – коллы. Структура с коллом на один актив и путом на другой (при этом только один из опционов может быть исполнен при наступлении срока) демонстрирует противоположную тенденцию: отрицательная корреляция будет обуславливать снижение цены.

■ Корреляционная вега структуры на два актива отражает изменение цены структуры в результате изменения корреляции.

У опциона более чем на два актива существует множество корреляционных вег, по одной на каждую возможную пару. Соответственно, для структуры на четыре базовых актива мы имеем следующее:

Сумма по диагонали, разумеется, равна 0, поскольку каждый актив имеет корреляцию с самим собой, равную единице. Выше представлена только половина матрицы, потому что корреляции являются зеркальными (корреляция между активом 1 и активом 2 будет равна корреляции между активом 2 и активом 1).

Существует чувствительность к каждой из этих корреляций.

Можно пойти дальше и развить данный метод, поместив его в контекст ковариационной матрицы (т. е. риска всего портфеля). Матрицу, показывающую ковариации между активами, автор книги называет ковариационной матрицей для портфеля (обозначаемой символом ∑). Трейдеров обычно учат рассматривать ∑ как эквивалент волатильности актива.

где σij – ковариация между активом i и активом j. Общая матрица должна удовлетворять определенным ограничениям[201], а корреляция и волатильность должны находиться в определенных пределах, иначе матрица станет отрицательной, эквивалент волатильности – отрицательным, а с подобным даже опытные трейдеры еще не сталкивались.

Коррелированные и некоррелированные греки

Опцион с двумя активами имеет более одной дельты, и хеджер должен сделать некоторые допущения (рис. 22.5). Тот, кто верит в стабильность корреляции, всегда будет торговать структурой иначе, чем сторонник конспирологических теорий.

Поэтому необходимо построить градиент, также называемый общей дельтой и коррелированной дельтой, состоящей из частных дельт.

∆A, называемая частной дельтой актива A, отражает чувствительность структуры к изменениям цены актива A, предполагая, что актив B движется скоррелированно с активом A.

∆B, называемая частной дельтой актива В, отражает чувствительность структуры к изменениям цены актива B, предполагая, что актив A движется скоррелированно с активом B.

Градиент ∇, также называемый коррелированной дельтой, отражает чувствительность структуры к изменениям цены активов A и B, предполагая скоррелированное движение этих активов.

На рис. 22.6 показаны два сценария, смоделированные для актива А. В одном из них актив A меняется без учета соответствующего скоррелированного движения актива B, а в другом последнее учитывается.

Результат независимого движения актива A отличается от результата движения актива A, учитывающего коррелированное движение актива В.

В этом случае реальный риск необходимо рассматривать в двух дельтах, ∆A и ∆B, а также в общих дельтах. Полезно сравнивать дельты структуры в целом.

В табл. 22.1 представлена чувствительность частной дельты опциона А только к активу A (актив B остается замороженным).

Для измерения общей, или некоррелированной, дельты требуется более активное использование матричного анализа.

Общая дельта: ∇TΣ∇.

Она может быть рассчитана для двух позиций с двумя активами следующим образом:

Это подводит нас к понятию частной гаммы.

Поскольку каждая структура имеет четыре возможные дельты, она также будет иметь следующие гаммы. Мы рассмотрим только реалистичные коррелированные гаммы.

ГаммаAA = изменения ∆A, обусловленные изменениями актива A (актив B движется в соответствии с его корреляцией).

ГаммаAB = изменения ∆A, обусловленные изменениями актива B (актив A движется в соответствии с его корреляцией).

ГаммаBA = изменения ∆B, обусловленные изменениями актива A (актив B движется в соответствии с его корреляцией).

ГаммаAB и гаммаBA дают одинаковый результат.

ГаммаBB = изменение ∆B, обусловленные изменениями актива B (актив A движется в соответствии с его корреляцией).

Еще один опцион, предполагающий выбор, – это сверхдоходный опцион.

■ Сверхдоходный опцион (предполагающий выбор между двумя активами) – это опцион, который дает владельцу право покупать или продавать один актив против другого по заранее определенной ставке. Такие опционы, как правило, являются коллами на максимуме и путами на минимуме[202].

Сверхдоходные опционы являются полезным инструментом при изучении вопросов расчетных единиц. Интересно смотреть на них с точки зрения индексного распределения активов. Управляющий фондом, у которого нет фиксированного распределения активов, может предположить, что есть теоретическая дельта, аналогичная такому опциону, а затем, используя дельта-векторы и гамма-матрицы, постоянно корректировать свою позицию.

Сверхдоходный опцион можно спокойно рассматривать как спред-опцион, если он обозначен следующим образом:

Max(S1, S2) = [S1 + Max(0, S2 – S1)].

Это означает, что сверхдоходный опцион есть не что иное, как один актив плюс спред между двумя активами. Что касается спред-опционов, то их лучше рассматривать как корзинные опционы, считая, что один из активов имеет отрицательный вес.

Возможно, мать всех сверхдоходных опционов – это опцион на фьючерс на облигации. Он дает право стороне, имеющей короткую позицию во фьючерсе, поставлять самые дешевые подходящие облигации. Таким образом, это опцион как минимум на несколько