Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

2. Цена актива в предыдущем узле × Exp(–0,20 × Sqrt(0,5)) с вероятностью 53,52 %.

Ожидаемая окончательная цена актива рассчитывается по окончательному результату, умноженному на его вероятность. В табл. C.1 представлена позиция немецкого трейдера.

Пока все идет нормально. Немецкий трейдер ожидает, что его валюта при отсутствии дрейфа и разницы в процентных ставках по истечении года останется неизменной. Чтобы увидеть в каждом узле, чего он ожидает вследствие инверсии пары доллар/марка, можно взять эту же таблицу и заменить пару доллар/марка на 1/доллар (см. табл. С. 2). В первой ячейке будет стоять 1/1,42 = 0,7042.

Соответственно, немецкий трейдер ожидает, что его валюта останется прежней в паре доллар/марка, но значительно вырастет в паре марка/доллар. Это довольно тревожный для мировой экономики парадокс.

В табл. C.3 представлены ожидания в отношении марки за доллар. В табл. C.4 показана реверсия в каждом узле.

Американец тоже считает, что его валюта вырастет по отношению к другой валюте.

В главах 7 и 17 данный парадокс представлен в общем виде. Опцион колл на пару доллар/марка не будет иметь ту же дельту, что и опцион пут на пару марка/доллар. Понять это на уровне интуиции можно, в частности, рассмотрев движение вверх в паре доллар/марка, стремящееся к бесконечности. Для инвестора, ведущего расчеты в долларах, движение валют идет вниз до нуля, т. е. имеет предел.

■ Переворачивание валюты расчетов – это переключение единицы, в которой ведутся расчеты, с базовой валюты на встречный актив t.

Колл на S со страйком K и риск-нейтральной ставкой rd и ставкой встречного актива d может оцениваться как пут на 1/S со страйком 1/K, риск-нейтральной ставкой d и ставкой встречного актива rd.

Трейдеров следует предупредить, что переворачивание валюты расчетов дает точно такой же ценовой эквивалент (за исключением азиатских и цифровых опционов), но дельта будет другой[216].

Вывод

Любой риск-менеджер или трейдер, прежде чем приступить к анализу и измерению рисков, должен знать реальную, действительную валюту расчетов. Этот вопрос встает как при более высокой волатильности, так и в ситуациях, когда много пар торгуется друг против друга без какой-либо доминирующей «домашней» валюты.

Следующий раздел предназначен для ярых сторонников математических методов.

Математическое примечание[217]

Вышеописанная ситуация является прямым следствием неравенства Дженсена: выпуклая[218] функция математического ожидания будет ниже, чем математическое ожидание функции.

Если Ф – выпуклая функция

Ф (E[x]) ≤ E[Ф(x)],

применима к обратной величине, определяемой как (актив 1 – актив 2) = 1/(актив 2 – актив 1), то

1/E(x) ≤ E(1/x).

Расширенный метод включает использование леммы Ито и рассмотрение эффекта изменения переменной. Он позволяет оператору учесть дрейф и получить точный показатель. Это можно сделать, создав функцию 1/x базовой ценной бумаги и выведя ее математическое ожидание.

Начнем с броуновского движения.

где S – ценная бумага, σ – волатильность, а Z – винеровский процесс.

Пусть U(S) = 1/S, обратный курс (встречной валюты). Используя лемму Ито, получаем

Мы имеем:

Используя таблицу умножения Ито, получаем:

dt2 = 0;

dt dZ = 0;

dZ2 = dt.

Это дает

В то время как для dS/S математическое ожидание составляет μdt, для dU/U оно равно (σ2 – μ)dt.

Вывод

Каждый оператор сталкивается с особым риск-нейтральным стохастическим процессом в зависимости от его валюты расчетов[219].

Модуль D

Треугольники корреляции: наглядный пример

Этот раздел необходим для подготовки к анализу мультиактивных опционов[220]. Анализ ограничивается подразумеваемой волатильностью и корреляциями, вытекающими из европейских опционов.

Активы с заданным сроком исполнения (сами активы, а не котируемые пары) могут быть наглядно представлены в виде точек в евклидовом пространстве. «Расстояние» от точки до точки соответствует подразумеваемой волатильности между последними. Этот метод облегчает понимание взаимосвязи волатильностей и влияния корреляции на все возможные пары.

Актив для этой цели определяется как единица, которую необходимо поставить в пару с какой-либо другой единицей, чтобы она могла торговаться. Соответственно, кукуруза может быть одним активом, золото – другим, доллар – третьим. Нетрудно увидеть, что контракт может представлять собой опцион на кукурузу против золота, ванильный продукт для физических лиц, чья «местная» валюта – кукуруза или золото.

Валюты всегда легче анализировать в свете сказанного, потому что они очень наглядно реагируют на изменение единицы расчетов. Валютный трейдер может встретить опцион доллар/иена с таким же успехом, как и опцион иена/монгольский тугрик. Валюта по определению является расчетной единицей, но последней может быть и любая другая единица, включая билеты на бейсбольный матч, – для тех, кто помешан на бейсболе и оценивает все остальное в билетах на матч.

● Подразумеваемая волатильность пары (при заданном сроке исполнения) измеряется расстоянием между точками, имеющими определенные координаты в евклидовом пространстве.

● В двухмерной вселенной формула расстояния между двумя активами с координатами (xl, x2) и (y1, y2) такова:

Ярому приверженцу математических методов нетрудно заметить, что заданная таким образом функция волатильности удовлетворяет условиям метрической функции, или функции расстояния. Следовательно, v(x, y) представляет собой волатильность торгуемой пары x-y, или x в единицах y.

1. Функция v(x, y) является строго положительной, если x отличается от y. Кроме того, v(x, x) = 0: волатильность актива, выраженная в нем самом как расчетной единице, равна нулю. Достаточно увидеть, что: волатильность наличного актива в пересчете на наличный актив равна 0.

2. Функция v(x, y) = v (y, x). Волатильность y в пересчете на x как расчетную единицу равна волатильности x в пересчете на y как расчетную единицу.

3. Функция v(x, y) всегда меньше или равна v(x, z) + v(z, y).

В n-мерном пространстве формула расстояния между двумя активами с координатами x = (x1, x2, …, xn) и x = (yl, y2, …, yn) равна:

Для начала предположим, что месячная волатильность DEM – точка в евклидовом (месячном) пространстве с координатами {7, 12,12}. Пусть USD имеет координаты (0, 0). Для простоты всегда рекомендуется использовать точку с координатами (0, 0) для валюты как товара, в котором рассчитывается прибыль/убыток.

В соответствии с правилами рынка выражение v(x, y) будет записываться как v(x_y) (читается как «волатильность пары x_y»). Далее, v(USD-DEM), величина между точкой {0, 0} и точкой {7, 12,12}, показанной на рис. D.1, будет равна

Теперь добавим JPY. Предположим, что пара USD-JPY торгуется с волатильностью на уровне 12 %, поэтому USD-JPY – вектор длины 12. Но есть много возможностей поместить его на диаграмму, т. к. координаты задают целую окружность с радиусом 12 и центром в точке (0, 0) (рис. D.2).

Выберем произвольные координаты (x1, x2) для точки, находящейся на окружности. Существует бесконечное количество возможностей, т. к. равенство