Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

Теперь мы имеем три точки в пространстве: USD = (0, 0), DEM = (7, 12,12) и JPY = (11, 4,79). Эти три точки должны давать дополнительную информацию. В соответствии с формулой (1) v(DEM-JPY) будет равна sqrt{(7–11)2 + (12,12–4,79)2} = 8,35.

Обратите внимание: равенство треугольника, показанное на рис. D.3, соблюдалось бы и в том случае, если бы иена помещалась на противоположной стороне, т. е. имела бы координаты (–1,35, 11,92).

Прежде чем перейти к анализу «что, если», рассмотрим корреляцию. Как известно, корреляция между сегментами волатильности равна косинусу угла между ними.

Пусть точка n = (n1, n2, … nn) определяется как валюта расчетов:

cos(b) = (x – n) · (y – n)/v(x, n) v(y, n),

где b – угол между сегментами скалярного произведения, «внутреннее произведение» (x – n) · (y – n) = ∑(xi – ni)(yi – ni), и уже известно, что показатель

Уравнение можно упростить, предположив, что X и Y имеют координаты (x1, x2), (y1, y2).

Правило треугольника корреляции

Нетрудно заметить, что корреляция (x-n, y-n) = корреляция (n-x, n-y). Иными словами, корреляция между активом x, выраженным в расчетных единицах n, и активом y, выраженным в расчетных единицах n, равна корреляции между активом n, выраженным в расчетных единицах x, и активом n, выраженным в расчетных единицах y.

Теперь можно вернуться к нашему примеру и рассчитать корреляцию, существующую в мире трех валют. Рассчитаем корреляцию между сегментом USD-DEM и USD-JPY.

Чтобы корреляция оставалась постоянной, волатильность сторон должна расти на одинаковый процент (рис. D.4). Это также приведет к росту третьей волатильности. Немного труднее представить, что волатильность DEM-JPY в этом случае будет расти, потому что выросла волатильность обоих компонентов по отношению к доллару. Автор этой книги попытался убедить в этом коллег, и они, хотя и неохотно, все же признали его правоту.

Более того, когда третья нога поворачивается (как показано на рис. D.5), волатильности остаются неизменными, а корреляция меняется.

При добавлении еще одной валюты к этому миру количество измерений увеличивается на 1. Для включения в расчеты GBP нужно добавить еще одно измерение к уже имеющимся. В трехмерной системе координат {x, y, z} результат будет таким, как показано на рис. D.6.

USD (валюта расчетов) = {0, 0, 0}.

DEM = {7, 12,12, 0}.

JPY = {11, 4,79, 0}.

GBP = {0, 9,57, 2,91}.

Что, если пользователь добавит S&P500? Теперь у него будет пять единиц, которые придется представлять в четырех измерениях. Однако для наглядности он может каждый раз ликвидировать одну единицу.

Трейдер может представить подпространство USD, S&P, DEM, JPY (без GBP). Для этого можно удалить третью строку и представить (nl, n2, n4), учитывая тот факт, что даже трейдеры способны воспринимать мир только в трех измерениях.

USD = {0, 0, 0}.

DEM = {7, 12,12, 0}.

JPY = {11, 4,79, 0}.

S&P = {0, 0, 10}.

Пара S&P500-USD не коррелирует ни с одним другим сегментом. В качестве упражнения читатель может убедиться в этом самостоятельно. Это очевидно: поскольку corr(2 сегмента) = 0, значит, cos(угол) = 0, что означает прямой угол между S&P-USD и JPY-USD; та же ситуация со S&P-USD и DEM-USD, как показано на рис. D.7.

Результат: мир волатильностей можно представить как вселенную точек.

Отсутствие арбитража волатильность/корреляция требует, чтобы все волатильности на рынке (и вытекающие из них корреляции) соответствовали одной и той же метрике между точками. Любое смещение точки влево, вправо, вверх или вниз приведет к арбитражу.

РАСЧЕТ ОЖИДАЕМОЙ КРИВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Наличие разных сторон позволяет построить кривую корреляции, которая будет корреляцией, диктуемой правилами треугольника (табл. D.l).

Модуль E

Стоимость под риском

Abyssus abyssum invocat. (Бездна взывает к бездне[221].)

ЛАТИНСКАЯ ПОСЛОВИЦА[222]

Ниже речь пойдет о методе управления рисками, который, подобно портфельному страхованию, эффективен лишь при условии, что его использует небольшое количество людей. Парадокс, рассматриваемый в одной из работ автора этой книги (Taleb, 1997), состоит в том, что метод работает (и успешно) только в том случае, если не пользуется успехом.

■ Стоимость под риском[223] – это метод оценки максимального убытка для портфеля на уровне уверенности, предполагающем знание процесса, управляющего элементами этого портфеля.

Метод стоимости под риском дает трейдерам несколько полезных инструментов краткосрочного хеджирования, которые мы рассмотрели при обсуждении объединения в блоки в главе 12. Тем не менее метод спровоцировал заявления представителей компаний, занимающихся управлением рисками, которые (возможно, непреднамеренно) убеждали своих клиентов в том, что обладают инструментами для оценки общего рыночного риска позиции, физического лица, подразделения компании или всей фирмы в виде одного простого количественного показателя, причем без стандартной ошибки.

Поскольку применение метода постоянно эволюционирует, в данном разделе мы ограничимся его кратким представлением, чтобы он был понятен на интуитивном уровне.

Метод стоимости под риском[224] все чаще используется банками и корпорациями как для адекватного распределения рисков, так и для надлежащей количественной оценки доходности капитала с учетом риска. Концепция раскрытия общей экспозиции с помощью одного простого количественного показателя нравится большинству членов советов директоров и регуляторов, многие из которых не знают всех тонкостей и сложностей рисков на финансовом рынке. Их легко впечатлить «научными» инструментами.

На точность измерения, разумеется, влияет не только огромное количество сложных факторов. Критики метода стоимости под риском (включая автора этой книги) утверждают, что упрощение может привести к искажениям, сводящим на нет значение самого показателя. Более того, оно может обернуться шарлатанством: убаюкивание невинного инвестора или бизнес-менеджера и внушение ему ложного чувства безопасности грозит подрывом доверия к трейдерам. В отличие от представителей точных наук операторы фондового рынка имеют дело с нестабильными параметрами, и измерение риска не сводится к расплывчатой и неточной оценке. Такой подход запросто может привести к искажениям. Самое вредоносное последствие применения метода стоимости под риском заключается в том, что он позволяет высказываться по этому вопросу людям, никогда не имевшим дела с рыночными рисками.

Короче говоря, метод нельзя использовать для того, чтобы сказать: «С вероятностью около 99,7 % (в пределах 90 % или вроде того) в следующем месяце вы не потеряете больше $1 млн». Неискушенный казначей или сотрудник компании будет считать, что оценка опирается на научные статистические данные, аналогичные статистике авиакатастроф. Однако метод можно использовать для того, чтобы сказать: «С вероятностью 66 % можно ожидать, что в течение следующих 2 часов вы потеряете не более $100 000, если не попытаетесь ликвидировать позицию и если у других компаний, подобных вашей, нет такого же портфеля, как у вас».

Упрощенные примеры

В представленных ниже примерах стоимость под риском соответствует риску для одного стандартного отклонения (66 % времени), а не трех стандартных отклонений, как принято в общедоступной литературе.

Предположим, что несколько представленных ниже примеров относятся к вселенной, в которой на рабочем месте трейдера открыты четыре