Диалектические основы математики - Алексей Федорович Лосев

Оценивая теперь лосевский проект метаматематики и оценивая предложенный философом неблизкий путь от максимально общих принципов «философии числа» до мельчайших фактов самой частной (и самой первой) из математических наук, арифметики, мы можем, наконец, судить и о замысле – он масштабен, и о степени его воплощения – при многих потерях и необходимых оговорках, всё самое трудное свершено, всё самое главное было сформулировано и предано бумаге. Обозревая труды, в невольном одиночестве исполненные Лосевым, можно с оптимизмом предположить, что «задача философского обоснования математики» если и не разрешена единолично им, то вполне может быть разрешима коллективными усилиями на путях, проложенных лосевской метаматематикой, а саму диалектику как основное орудие этой метаматематики уже теперь

«можно считать… настолько зрелой и конкретизированной дисциплиной, что она вполне может (и даже обязана) войти»

– и, как мы теперь знаем, успешно вошла –

«в детали числовых конструкций, не ограничиваясь общими рассуждениями только о самом понятии числа» (414).

6.

Вместо заключения

Итак, определенный период творческой биографии Лосева, пройденный, по его собственной квалификации, под знаком ярко выраженного «отвлеченно-диалектического эроса», вполне закономерно завершился систематическими логико-математическими исследованиями. Как бы ни относиться к некоторым лосевским сочинениям, «гипертрофированным в смысле логики и диалектики» (В.М. Лосева), к этому всеохватному «унифицированному строительству из диалектических блоков» (С.С. Хоружий), ясно и достоверно следующее: тот давний и мощный творческий эрос, в конечном итоге породивший «Диалектические основы математики», позволил Лосеву занять достойное место в ряду немногих подлинных мыслителей, для которых постижение интегрального целого, обретение Логоса в Хаосе было превыше всего. До Лосева в этот ряд входили и входят преимущественно естествоиспытатели – отечественные созидатели систем, прежде всего Д.И. Менделеев, Е.С. Федоров, В.И. Вернадский, Н.И. Вавилов, А.А. Любищев, среди современных исследователей – Г.М. Идлис, Ю.А. Урманцев, Ю.И. Кулаков. Последний из названных, вспоминая предысторию созданной им теории физических структур, высоко оценивал совет своего учителя И.Е. Тамма, выдающегося физика-теоретика: в поисках «единого универсального языка» природы нужно вооружаться примером «прежде всего русских философов», которые

«о многом догадывались, хотя не могли сформулировать свою идею всеединства»

достаточно строго[115]. Пример Лосева показывает, что русская философия оказалась способна не только «о многом догадываться», но и «многое сформулировать».

КОММЕНТАРИИ

Работа А.Ф. Лосева над книгой «Диалектические основы математики» проходила в 1930-е годы. Началом ее можно считать заметку-эссе «О форме бесконечности», которая в дальнейшем целиком вошла в § 98 книги. Рукопись заметки точно датирована: начало работы – 31 июля 1932 г., окончание – 2 августа 1932 г.; даты соответствуют времени пребывания А.Ф. Лосева в Белбалтлаге (лагерь на ст. Медвежья Гора на берегу Онежского озера) примерно за год до освобождения из заключения. Уже на следующий день, 3 августа 1932 г., Лосев приступил к написанию текста под названием «Диалектика основных арифметических действий» (окончен 7 августа), в дальнейшем, практически без изменений, составившего §§ 115 – 118 книги. Вероятно, книга в целом (по крайней мере, в том объеме, который известен нам к настоящему времени) была закончена осенью 1935 г., о чем косвенно свидетельствует тот факт, что окончательное подробное оглавление книги (рукопись) сохранилась в архиве автора в виде блока, завернутого в газету «Правда» от 9 октября 1935 г. Подписанное В.М. Лосевой «Предисловие» к книге датировано 29 января 1936 г.

Общий замысел автора по философскому исследованию основ математики в некоторой мере отражает следующий план, сохранившийся в архиве А.Ф. Лосева среди бумаг, относящихся к книге (публикация А.А. Тахо-Годи, подготовка к публикации В.П. Троицкого; рукопись не датирована).

[План содержания книги «Диалектические основы математики»]

ВВЕДЕНИЕ

I. Общая теория числа

· I. Отграничения

· II. Фундаментальный анализ

· III. Аксиоматика

· IV. Функция

· V. Переход

II. Интенсивное число

· I.

· · A. Арифметика[116]

(от арг[умента] к ставшему, от непоср[едственного] бытия чисел через ф[ункцию] к непоср[едственно] ставшему)

· · · I. Бытие. Натур[альный] ряд

· · · II. Инобытие. Типы числа

· · · III. Становление. Действия

· · · IV. Ставшее:

· · · · a)

· · · · · 1. Отношение

· · · · · 2. Пропорция

· · · · · 3. Ряд (прогрессия)

· · · · b)

· · · · · 1. Делимость чисел

· · · · · 2. Комбинаторика

· · · · · 3. Детерминанты

· · · · c) Матрицы (не величина, но система величин)

· · · V. Выражение. Геометрия чисел (формы и группы)

· · B. Алгебра[117] (= от ставшей ф[ункции] к аргументу, уравнения)

·  · C. Арифметич[еская][118] алгебра:

· · · a) арифметика многочленов

· · · b) алгебраич[еские] числа

· II. Скалярный анализ[119]

· · I. Бытие. Арифм[етика] и алгебра бесконечно-малых

· · II. Инобытие. Производная

· · III. Становление. Произв[одная] n-порядка

· · IV. Ставшее:

· · · a) ряды

· · · b) исследов[ание] ф[ункций]

· · · c) неопред[еленный] интеграл

· · · d) определ[енный] интеграл

· · V. Выражение:

· · · a) вариац[ионное] исчисление

· · · b) интегр[альные] и диф[ференциальные] ф[ункции] компл[ексного] переменного

· · · c) инт[егральные] и диф[ференциальные] уравнения

· III. Векторный анализ[120]

· · Тензорный анализ

· IV. Вект[орный][121] и тензорный анализ в условиях неоднородности (теория мнимых полей)

III. Экстенсивное число

· I.

· · A. Бытие:

· · · a)

· · · · 1. континуум

· · · · 2. топология

· · · · 3. проективная [геометрия]

· · · b) аффинная геометрия

· · · c) обыкновенная или полная [геометрия]

· · B. Инобытие. Аналитич[еская] геометрия

· · C. Опред[еленное] бытие. Прилож[ения] алг[ебры] к геом[етрии]

· II. Становление. Дифф[еренпиально]-интегр[альная геометрия]

· III. Ставшее. Общее метрич[еское] учение

· IV. Выражение:

· · парабол[ическая геометрия]

· · гипербол[ическая геометрия]

· · эллиптич[еская геометрия]

[На свободном месте в верхнем правом углу рукописи отдел «Алгебра» расписан более подробно]:

Алгебра

· I. Бытие. Функция. Полином

· II. Иноб[ытие]. Классиф[икация] функций

· III. Становл[ение]. Действия над полиномами

· IV. Ставшее:

· · a) Инварианты

· · b) Функц[иональные] детерминанты

· · c) Функц[иональные] матрицы

· V. Выражение. Уравнения (= функц[иональные] сравнения).

·

Как следует из рассмотрения данного документа в сопоставлении с известным оглавлением «Диалектических основ математики», А.Ф. Лосев практически полностью реализовал этот план в его «арифметической» части (соответственно, до второй части первого раздела «Интенсивного числа»), т.к. в последнем, не оконченном § 126 книги уже излагалось учение о кольцах и полях (см. заключительный пункт «Выражение. Геометрия чисел (формы и группы)» указанного плана). Остальной же материал книги явно обдумывался и предполагался автором к оформлению, о чем свидетельствует, например, ряд имеющихся в книге отсылок к будущему тому, посвященному геометрической тематике (ей соответствует раздел «Экстенсивного числа» в плане).

Современная публикация книги «Диалектические основы математики» проходила в несколько этапов, по мере выявления и обработки соответствующих рукописей в архиве философа. Сначала увидело свет несколько небольших отрывков из книги (см.: Начала. 1993. № 2. С. 113 – 123, – «Предисловие» В.М. Лосевой; Начала. 1994. № 2 – 4. С. 29 – 45, – «Оглавление» книги и эссе «О форме бесконечности»). Затем, после подготовки В.П. Троицким текста по выявленным в архиве двум неидентичным экземплярам машинописи 1930-х годов, которые имели многочисленные лакуны и искажения, особенно в формульной части, значительная часть книги впервые была опубликована в составе тома трудов А.Ф. Лосева «Хаос и структура», подготовленного в издательстве «Мысль» (М., 1997. С. 5 – 608; охватывался состав книги вплоть до § 107). Названные машинописные экземпляры имели весьма плачевный вид, поскольку они были в свое время извлечены из воронки от тяжелой авиабомбы, уничтожившей