Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

133

Греками.

134

Если пара (N, A) имеет постоянную волатильность (N – расчетная валюта) и пара (N, B) имеет постоянную волатильность, и то корреляция между (N, A) и (N, B) будет постоянной. При торговле кросс-опционами гетероскедастичность означает нестабильную корреляцию.

135

Среднюю ожидаемую доходность базового актива (англ. drift).

136

Это связано с проблемой дискретно-временно́й сходимости. Поэтому опционы сходятся по стоимости с результатом по формуле Блэка–Шоулза–Мертона, а не с более высокими производными.

137

Продвинутый уровень.

138

Имеется в виду, что при дельте 50 % изменение цены опциона будет в два раза меньше изменения цены базового актива, поэтому необходимо два опциона, чтобы сбалансировать по дельте базовый актив и опционы.

139

То есть положительная.

140

Это еще одна грань проблемы дискретно-временно́й сходимости. Биномиальная модель приводит к непрерывной временно́й оценке опциона. Но дельта и более высокие греки не сходятся. Эту проблему легче увидеть в случае с портфелем опционов.

141

Денежный эквивалент позиции

Таким образом, расширение Тейлора можно в дополнение к дельте включить в измерение гаммы – DgammaDspot (т. е. стабильность гаммы). Но для портфеля с большим количеством опционов расширение Тейлора должно охватывать производные более высокого порядка для отслеживания рисков. Становится интуитивно понятно, что VAR не применяется к книге опционов. В главе 11 мы увидим, почему, поскольку книга опционов не компактна и поскольку более высокие порядки или ΔU не исчезают, нам нужен более действенный способ оценивать риски.

142

Термин «теневая гамма» придуман одним из моих бывших коллег, Ленни Денданненом.

143

Sig(x) – это изменение волатильности в результате изменения цены актива между x0 и x.

144

Не следует путать теневую гамму со стохастической волатильностью. Подразумеваемая волатильность определяется как прямая, детерминированная функция движения, предсказанная трейдером и добавленная в формулу Блэка–Шоулза–Мертона. Таким образом, трейдеры могут утверждать, что волатильность будет выше на 100 базисных пунктов, если рынок упадет на 1 %, и создать карту изменений волатильности. Другой способ рассмотреть разницу состоит в том, что теневая гамма концентрируется на подразумеваемой волатильности (определяемой моделью Блэка–Шоулза–Мертона), в то время как стохастическая волатильность касается ценовой модели, которая более точно отслеживает распределение фактической волатильности. Последняя предполагает, что волатильность случайным образом распределена вокруг некоторого среднего, похожего на сам базовый актив, часто соотносимого с ценой актива.

145

ОЭСР – Организация экономического сотрудничества и развития.

146

Курсовой механизм Европейского валютного союза.

147

Forward-start option – тип экзотического опциона с отложенным периодом активации и страйком, определяемым в момент активации. – Прим. пер.

148

Предполагается, что броуновское движение влияет на волатильность для одного срока истечения, а остальные следуют за ним в определенной пропорции.

149

Taleb (1996а).

150

Оговорки автора относительно применения системы «стоимость под риском» не относятся к кривой волатильности по следующим причинам: 1) этот метод является подспорьем в краткосрочном хеджировании, а не в анализе наихудших сценариев. При «хвостовых» событиях интервалы волатильности значат меньше, чем гамма-экспозиция. Кроме того, перекрестная вега обычно исчезает в хвостах; 2) это можно рассматривать как метод второй степени стоимости под риском, т. к. основным инструментом является ожидание второго момента.

151

Это соответствует тому, что трейдеры ямы называют календарные спреды «горизонтальными», а страйк-спреды «вертикальными», а их сочетание называется «диагональным».

152

Локальной называют волатильность между двумя точками с координатами (S, t) и (S + ΔS, t + Δt). Локальная волатильность между (S, t) и (S, t + Δt) называется форвардной, как говорилось ранее.

153

Волатильность спот форварда Дюпира (Dupire, 1996) выражается

154

Некоторые операторы строят поверхность волатильности как функцию дельты опциона вместо спот/страйка. Мы избежали ловушки определения дельты, т. к. хорошо известно, что дельта является функцией волатильности.

155

Была оценена следующая полиномиальная функция:

x: время (дни), y = ln(fwd/K);

Волатильность = 11,9257 + 0,110067 Sqrt[х] + 5,77624y + 350,516y – Sqrt[х] + 153,843y2 – 1088,23y3 – 1085,65y4 + 21942,8y5.

156

Для пары расчетная валюта – актив.

157

Метод просто состоит в подгонке кубических многочленов между узловыми точками так, чтобы производная каждого многочлена в каждом узле была равна производным предшествующего и следующего многочленов.

158

Для ро всегда предпочтительнее вывести числовую, а не аналитическую экспозицию. Аналитическая экспозиция суммирует микроскопические производные каждой операции, умноженные на их размер. Числовой метод переоценивает портфель и, таким образом, может иметь дело с изменяющимися производными.

159

Этот раздел можно пропустить при первом чтении.

160

Читателю, незнакомому с биномиальными деревьями, полезно прочитать вводный курс по биномиальному ценообразованию опционов, например Cox and Rubinstein (1985) или Hull (1993).

161

Большинство трейдеров, которые обсуждали этот вопрос с автором на протяжении многих лет, явно предпочитали моделирование перекошенного процесса: более высокую вероятность снижения волатильности и более низкую вероятность повышения волатильности, при этом оба состояния имеют равные ожидаемые вознаграждения (более высокие подъемы).

162

Она может быть вычислена с использованием классического дифференциального уравнения Блэка–Шоулза–Мертона (устраняющего дрейф):

163

Чтобы связать альфу со справедливой стоимостью, трейдер может считать, что ожидаемая тета с учетом волатильности будет отрицательной в момент «выплаты» за альфу. Ожидаемая тета для хеджера по модели Блэка–Шоулза–Мертона не имеет временно́го распада после хеджирования на рынке заданной волатильности. Обозначив временной распад как θ, гамму – как Γ, альфу – как α, подразумеваемую волатильность – как σ, а фактическую волатильность за период – как σ', мы получаем ожидаемую тет).

Как видно, ожидаемый временной распад положителен, если σ' > σ, и отрицателен, если σ' < σ.

164

Этот раздел добавлен потому, что, как выяснил автор, трейдеры используют эти показатели в торговой деятельности, а не из-за их ценности для риск-менеджмента.

165

. Математическое примечание. Процентная разница неточна для больших движений из-за асимметрии на логнормальных рынках. Математически более корректным является использование Log(спот/барьер). Разница становится больше, когда барьер находится вдали от денег.

166

Гамма – это особый случай выпуклости (т. е. выпуклости по отношению к цене актива). Однако