Динамическое хеджирование: Управление риском простых и экзотических опционов - Нассим Николас Талеб

167

Используя наиболее подходящий метод с учетом ограниченного количества точек, автор нашел:

Фактор = 1,30825 – 0,03789x + 0,0007419x2, где х – срок погашения (в годах).

168

Математический способ оценки такой выпуклости заключается в изменении переменной Ито, как описано в модуле G. Существует условие Ито при выплате евродоллара. Фьючерсы на евродоллар можно интерпретировать как функцию случайной переменной с выплатой, равной dr × exp{r(t – t0)}, где случайная переменная r следует за броуновским движением.

169

См. Karatzas and Shreve (1991).

170

Эта тема необходима для изучения экзотических опционных структур.

171

Опять же, эта тема представлена с точки зрения практикующего специалиста, а не теоретика.

172

Последующий академический спор представляет собой довольно интересный, если не забавный обмен мнениями. См. Culp and Miller (1994), Canter and Edward (1995).

173

Квартальный опцион на фьючерс – это опцион, срок действия которого соответствует сроку действия фьючерса. В противном случае опцион называется серийным опционом на фьючерсы.

174

Существует другой тип барьера – «поглощающее состояние», из которого невозможно выйти. Трейдер, исчерпавший свои лимиты, знает, что попал в «поглощающее состояние», когда представители клиринговой фирмы появляются посреди ямы, чтобы лишить его права торговать (иногда им требуется помощь охранников, чтобы вытащить незадачливого трейдера из ямы).

175

. Математическое примечание. Если привязать случайное блуждание к Wt < Wmax, то становится ясно, что по мере приближения Wt к Wmax волатильность должна падать, чтобы рынок оставался «справедливым». Другое решение заключается в том, что рынок должен иметь чрезмерный перекос.

176

Флуд и Гарбер (Flood and Garber, 1992) показывают, как стабилизация валютных курсов приводит к увеличению волатильности процентных ставок.

177

Подтверждено двумя крупными брокерскими фирмами, Tradition Financial Services и BCMG, их объемами торговли в Нью-Йорке, Сингапуре, Лондоне и Токио.

178

Гетероскедастичность для нормального распределения приводит к тому, что четвертый момент становится выше квадрата второго момента более чем в три раза.

179

См. Hull and White (1987). Чтобы сделать процесс волатильности риск-нейтральным, можно смело предположить существование фьючерсного контракта на волатильность.

180

В другой своей работе (Taleb, 1997) автор книги изучал динамику обобщенного процесса переключения режимов.

Пусть Xt = Log (Pt / Pt–Dt) – натуральная логарифмическая доходность между временем t — Dt и временем t наблюдаемой переменной Pt.

Пусть

И пусть

Случайная переменная Xt следует за смешанным броуновским движением XA и XB, если:

Xt = XAt с вероятностью p;

Xt = XBt с вероятностью (1 – p).

Это уточнение упрощает цепочку Маркова, предполагая, что p (и 1 – p) – это эргодические вероятности (т. е. долгосрочное среднее значение, потраченное в любом из двух состояний).

Функция, генерирующая момент, определяемая как

Так как XA и XB распределены нормально:

и

Обозначив как Φ'n n-ную производную от Φ и как µn – n-ный момент, мы получим следующее:

181

Данную врезку можно пропустить при первом чтении.

182

Феллер II (Feller II, 1971) предлагает условный метод численного инвертирования преобразования Фурье и вывода функции плотности.

183

Постоянная эластичность дисперсии, связывающая цены активов с их волатильностью, частично объясняет такое поведение. Однако данный анализ является статическим. Он касается абсолютных значений уровней, а не их изменения. См. Cox (1975); Beckers (1980); MacBeth and Merville (1980).

184

См. Derman (1995).

185

Совпадение не может быть идеальным. Поэтому необходимо установить функцию затрат (как правило, квадратичную норму разницы) и минимизировать ее. Кроме того, можно ввести веса, отражающие важность параметров риска.

186

На жаргоне маркетмейкеров это называется торговлей «ниже листов». «Листы» – это электронные таблицы с теоретическим значением цен, которые маркетмейкеры получают на биржах. Термин означает, что покупки опционов идут ниже теоретической величины, и наоборот (при отсутствии сдвига параметров).

187

С точки зрения теории вероятности это аналогично броуновскому мосту, когда возможные варианты движения цены исследуются при условии, что конечная точка ценового ряда не изменяется.

188

Для простоты предположим, что форвард торгуется по одной цене с ценой спот и что владелец опциона несет ничтожно малые расходы на поддержание позиции.

189

Ленни Денданнен.

190

Это похоже на модель Бридера–Лиценбергера (Breeder-Litzenberger, 1978) с бесконечно узкой бабочкой (колл-спред, покупаемый против другого, продаваемого, колл-спреда): C(k + h) – C(k) – (–C(k – h) + C(k)) = C(k + h) + C(k – h) – 2C(k). На пределе инструмент становится производной второго порядка от цены опциона по отношению к цене страй.

191

Ставка является производной от цены страйк, поскольку:

192

Эмпирическое правило Говарда Сэвери гласит, что американский цифровой опцион примерно вдвое дороже европейского. Дело в том, что американский опцион при деньгах будет стоить $1 (срок действия истекает), а европейский – $0,50. Эти отношения будут «загрязнять» и более низкие цены.

193

Прежде чем продолжить чтение, читателю рекомендуется освежить в памяти понятие дыр ликвидности (глава 4).

194

Для продвинутых читателей. (Перед чтением этого раздела рекомендуется попрактиковаться в асимметричном разложении бинарных опционов.)

195

См. Grimmet и Stirzaker (1992); Karatzas and Shreve (1991).

196

Дотошный читатель может использовать восходящий узел exp{(a – ½σ)t} и нисходящий узел exp{(–at)), удовлетворяющий как риск-нейтральности, так и логнормальности. Опять же, нет смысла усложнять упражнение настоящим логнормальным движением. Алан Брейс как-то сказал автору этой книги: «Связи важнее точности».

197

См. Dupire (1992, 1993, 1994, 1996), Rubinstein (1994), Derman and Kani (1994).

198

Для понимания